小学代数笔记-群论

群论

群

封闭性+结合律+单位元+逆元

半群：封闭性+结合律

幺半群：封闭性+结合律+单位元

交换幺半群：幺半群+交换律

Abel群（交换群、加群）：群+交换律

子群

$H$ 为 $G$ 的子群，记作 $H\le G$

判断子幺半群：封闭性+单位元

判断子群：封闭性+逆元

生成子群

$<S>=\{s_1s_2...s_k\mid s_i\in G或S_i^{-1}\in G\}$

生成子幺半群：$<S>=\{s_1s_2...s_k\mid s_i\in M\}$

有限生成群 $G=<g_1,g_2,...,g_m>$ 的有限指数子群 $H$ 也是有限生成群。

证明：

不妨设 $S=\{g_1,...,g_m\}, g_i^{-1}\in S$

设 $\{Hx_1,Hx_2,...,Hx_n\}$ 为 $H$ 的右陪集， $x_1=1$

设 $x_ig_j\in Hx_{i'}$ ，记 $u_{ij}=x_ig_jx_{i'}^{-1}\in H$

$\forall h=g_{i_1}g_{i_2}...g_{i_l}\in H, g_{i_j}\in H$

则 $h=x_1g_{i_1}g_{i_2}...g_{i_l}=u_{1i_1}x_{1'}g_{i_2}...g_{i_;}=...=u_{1i_1}...u_{ni_l}x_{l'}\in H=Hx_1$

$\therefore l'=1, H=<\{u_{ij}\}>$

Cayley定理

幺半群 $M$ ，$a_L:M\to M$ ，$a_L(x)=ax$ ， $M_L=\{a_L\mid a\in M\}$ ，则 $M\cong M_L$ （若 $M$ 是群同理）

常见群

符号	名称	备注
$S_n$	对称群
$A_n$	交错群	$S_n$中所有偶置换
$K_4$	Klein4元群	$C_2\times C_2$
$D_{2n}$	二面体群	$<x,y\mid x^n=y^2=1,xyx=y>$
$GL_n$	一般线性群	$n\times n$可逆矩阵
$SL_n$	特殊线性群	行列式为1
$O_n$	正交群	$n\times n$正交阵
$SO_n$	特殊正交群	行列式为$\pm 1$
$U_n$	酉群	$n\times n$酉矩阵
$SU_n$	特殊酉群	行列式为1

15阶以下群的分类：https://zhuanlan.zhihu.com/p/260343968

群的乘积的阶

$|AB|=\frac{|A||B|}{|A\cap B|}$

https://www.zhihu.com/question/275458609

单群

没有非平凡正规子群的群

Abel单群一定是素数阶循环群

非Abel单群最小的是 $A_5$，第二小的是 $PSL(2,7)$

自由群

$\{a_{s_1}a_{s_2}...a_{s_n}\mid s_i=1,2,...,r,a_i\in S或a_i^{-1}\in S\}$

自由Abel群：$<a_1,a_2,...,a_r>\to \Z^r$

自由幺半群：$\{a_{s_1}a_{s_2}...a_{s_n}\mid s_i=1,2,...,r\}$

元素的阶

$o(a)=\min\{r\mid a^r=1\}$

对合：群中阶数为2的元素

群的指数：$\exp G=\min \{r\mid \forall g\in G, g^r=1\}$

Abel群： $\exp G=\max \{o(g)\mid g\in G\}$

置换的循环分解

不相交的置换满足交换律

Lagrange定理

若 $H\le G$，则 $|G|=[G:H]|H|$

同余关系

若 $\sim$ 为 $G$ 上的等价关系，且 $\forall a_1\sim a_2,b_1\sim b_2\implies a_1b_1\sim a_2b_2$，

则 $\sim$ 为同余关系。$G/\sim$ 为商群。

正规子群 $K\unlhd G$ 对应的同余关系： $g_1\sim g_2\iff g_1g_2^{-1}\in K$

同余关系 $\sim$ 对应的正规子群： $\bar{1}$

同态

若$\varphi: M\to M'$满足：

1. $\forall a,b\in M, \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$

2. $\varphi (1)=1'$ （若 $M$ 是群，则可由第1点推出）

则$\varphi$是 $M$ 到 $M'$ 的同态。记作$M\sim M'$。

同态核：$\ker \varphi =\varphi^{-1}(1)$

同构：$\varphi$为双射，记作$M\cong M'$。

自同构：双射 $\varphi:M\to M$

自同构群：$\text{Aut}M$

内自同构： $\varphi(x)=uxu^{-1}$

内自同构群： $\text{Inn}M$

外自同构群：$\text{Out}M=\text{Aut}M/\text{Inn}M$

群同态基本定理

若有同态 $f:G\to H$，则 $$G/\ker f\cong\text{Im} f$$

证明：

记$N=\ker f$，定义$\varphi: G/N\to \text{Im} f, \varphi(gN)=f(g)$

先证$\varphi$为双射：

$f(g_1)=f(g_2)\iff f(g_1^{-1}g_2)=1\iff g_1^{-1}g_2\in N\iff g_1N=g_2N$

再证$\varphi$为同态：

$\varphi(g_1N\cdot g_2N)=\varphi(g_1g_2N)=f(g_1g_2)=f(g_1)f(g_2)=\varphi(g_1N)\varphi(g_2N)$

第一同构基本定理

若 $K\unlhd G, K\subseteq H\le G$。
记 $\bar{H}=H/K, \bar{G}=G/K$，则

$\bar{H}\le\bar{G}$

证明显然。

$H_1=H_2\iff \bar{H_1}=\bar{H_2}$

证明：

$H_1=H_2\implies \bar{H_1}=\bar{H_2}$ 显然

$\bar{H_1}=\bar{H_2}\\\implies \forall h_1\in H_1, \exists h_2\in H_2, h_1K=h_2K\\\implies \forall h_1\in H_1, \exists h_2\in H_2, k\in K, h_1=h_2k\in H_2\\\implies H_1\subseteq H_2$

同理$H_2\subseteq H_1$

$\therefore H_1=H_2$

$H\unlhd G\iff \bar{H}\unlhd \bar{G}\implies G/H\cong \bar{G}/\bar{H}$

证明：

$H\unlhd G\\\iff \forall h\in H,g\in G, ghg^{-1}\in H\\\iff \forall hK\in \bar{H},gK\in \bar{G}, ghg^{-1}K\in \bar{H}\\\iff \bar{H}\unlhd \bar{G}$

定义$\tau: G\to \bar{G}/\bar{H}, \tau(g)=\bar{g}\bar{H}$

显然 $\tau$ 为满同态，且 $\ker \tau=H$

由同态基本定理，$G/H\cong \bar{G}/\bar{H}$

第二同构基本定理

若$H\le G, K\unlhd G$，则

$HK\le G$

证明：

封闭性： $h_1k_1\cdot h_2k_2=h_1h_2\cdot k_1'k_2\in HK (\exists k_1'\in K)$

逆元：$(hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1}=h^{-1}k'^{-1}\in HK (\exists k'\in K)$

$H\cap K\unlhd H$

证明显然。

$HK/K\cong H/(H\cap K)$

证明:
定义$\varphi: H\to HK/K$，$\varphi(h)=hK$

显然 $\varphi$ 为满同态，且 $\ker \varphi =H\cap K$

由同态基本定理，$H/(H\cap K)\cong HK/K$

群作用

若存在同态

$T: G\to \text{Sym}S$

则称$(g,x)\to T(g)x$为$G$在$S$上的作用。
记$T(g)x=gx$。

忠实的作用：$T$为单同态（即$\ker T=\{1\}$）。
传递作用（可迁作用）：$S$只有一个轨道（即$Gx=S, \forall x\in S$）。
e.g. 共轭作用：$G=S, T(g)x=gxg^{-1}$。

轨道

$G$作用在$S$上。
定义等价关系：$x\sim y\iff \exists g\in G, y=gx$
轨道（即等价类）：$O_x=Gx$，$O_H=GH/H$

e.g. 共轭类：$O_x=\{gxg^{-1}|g\in G\}$

传递的变换群：只有1个轨道

稳定化子

$G$作用在$S$上。
$x$的稳定化子：$G^x=\text{Stab}_Gx=\{g\in G|gx=x\}$
$H$的点不变稳定化子：$G^{\{H\}}=\text{Stab}_G\{H\}=\{g\in G|gx=x, \forall x\in H\}$
$H$的集不变稳定化子：$G^H=\text{Stab}_GH=\{g\in G|gH=H\}$

$x$的中心化子：$C_G(x)=\{g\in G|gxg^{-1}=x\}$
$H$的中心化子：$C_G(H)=\{g\in G|gxg^{-1}=x, \forall x\in H\}$
正规化子：$N_G(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}$

轨道稳定子定理：$|G|=|G^x||O_x|$ ，即 $|O_x|=[G:\text{Stab}_Gx]$

商集

$G$作用在$S$上。
商集：$S/G=\{O_x|x\in S\}$

类方程

$G$作用在$S$上。
$\{x_i\}$为$S$所有轨道的一组代表元。

$|S|=\sum |O_{x_i}|=\sum [G:\text{Stab}_G{x_i}]$

若 $G$ 为 $G$ 上的共轭作用， $\{y_i\}$为$G$所有非单元轨道的一组代表元。

$|G|=|C|+\sum [G:C_G(y_i)]$

Burnside引理

$G$作用在$X$上。
$X^g=\{x\in X|gx=x\}$。

$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|$

证明：
$\sum_{g\in G}|X^g|=\sum_{x\in X}\text{Stab}_Gx=\sum_{x\in X}\frac{|G|}{|O_x|}=|G||X/G|$

Polya定理

$c(g)$为置换$g$能拆分成的不相交的循环置换数量

$X$的每个元素有$m$种颜色可选，因此$|X^g|=m^{c(g)}$

$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}m^{c(g)}$

半直积

内半直积

若 $N\unlhd G, H\le G$，$NH=G, N\cap H=\{1\}$

则 $G$ 为 $N$ 和 $H$ 的内半直积。记作 $G=N\rtimes H$。

外半直积

若 $N, H$ 为群，有同态 $\phi: H\to \text{Aut}N$

定义 $N$ 和 $H$ 的外半直积：$N\rtimes H$。

运算规则 $(n_1,h_1)(n_2,h_2)=(n_1(h_1n_2),h_1h_2)$

圈积

$H$ 为 $G^S$ 上的作用

$G\wr H=G^S\rtimes H$

$(hf)(s)=f(h^{-1}s)$

Cauchy引理

• 若 $G$ 为有限Abel群，$p$ 为素数，$p\mid |G|$，则 $G$ 必含 $p$ 阶子群。

证明：
任取 $a\in G$ ，若 $p\mid o(a)$，则 $o(a^\frac{o(a)}{p})=p$。
否则，考虑 $G/<a>$ 。
由归纳假设，$G/<a>$ 存在 $p$ 阶元素 $\bar{b}$
$\therefore \forall b\in \bar{b}, p\mid o(b)$

另一种证法：https://zhuanlan.zhihu.com/p/62364786

Sylow第一定理

参考： https://zhuanlan.zhihu.com/p/358852225

• 若$p$为素数，$G$为群，$p^k\mid |G|$，则$G$必含$p^k$阶子群。

证明：

$|G|=|C|+\sum [G:C(y_i)]$

若 $p\nmid |C|$ ，则 $\exists y_i, p\nmid [G:C(y_i)]$
而 $|G|=|C(y_i)|[G:C(y_i)]$ ，因此 $p^k\mid |C(y_i)|$
由归纳假设，$C(y_i)$ 有 $p^k$ 阶子群

若 $p\mid |C|$ ，由Cauchy引理，$\exists a\in C, o(a)=p$ 。
考虑 $G/<a>$ ，$p^{k-1}\mid |G/<a>|$ 。
由归纳假设，$|G/<a>|$ 有 $p^{k-1}$ 阶子群 $\bar{H}$ 。
$\therefore \exists H\le G, H/<a>=\bar{H}$
$\therefore |H|=|H/<a>||<a>|=p^k$

若$p^{k+1}\nmid |G|$，称$p^k$阶子群为Sylow-$p$子群。

引理

• 若 $P$ 为 $G$ 的Sylow-$p$子群，$H\le N(P), |H|=p^j$，则$H\subseteq P$。

证明：
$\because H\le N(P), P\trianglelefteq N(P)$
由第二同构基本定理， $HP/P\cong H/(H\cap P)$
$\therefore |HP/P|=p^k, k\le j$
$\therefore |HP|=|P|\cdot p^k$
$\therefore k=0$
$\therefore HP=P$
$\therefore H\subseteq P$

Sylow第二定理

1. $G$ 的Sylow- $p$ 子群两两共轭
2. $G$ 的Sylow- $p$ 子群个数是 $[G:P]$ 的因子，且模 $p$ 余1，$P$ 是任一Sylow-$p$子群。
3. $G$ 的任意 $p^k$ 子群均包含于一个Sylow-$p$子群。

证明：

令 $\Pi$ 为 $G$ 的Sylow- $p$ 子群组成的集合。

考虑 $G$ 在 $\Pi$ 上的共轭作用。

令 $\Sigma$ 为该作用下的一个轨道。

取 $P\in \Sigma$，考虑 $P$ 在 $\Sigma$ 上的共轭作用，则 $\{P\}$ 是唯一大小为1的轨道，其他轨道的大小都是 $p$ 的倍数（根据引理可证）

$\therefore |\Sigma|\equiv 1 \pmod p$

假设 $\Pi\ne \Sigma$，取 $P\in \Pi-\Sigma$，考虑 $P$ 在 $\Sigma$ 上的共轭作用，可得 $|\Sigma|\equiv 0\pmod p$，矛盾

$\therefore \Pi=\Sigma$ ，即 $G$ 的 Sylow- $p$ 子群两两共轭

又 $|\Pi|=[G:N(P)], P\unlhd N(P)$

$\therefore [G:P]\mid |\Pi|$

$\forall H\in P, |H|=p^k$

考虑 $H$ 在 $\Sigma$ 上的共轭作用，由于 $|\Pi|\equiv 1\pmod p$，必存在轨道$\{P\}$

$\therefore H\le N(P)$

根据引理，$H\subseteq P$